Przeglądając Facebooka, dość często spotykamy zadania arytmetyczne typu: Oblicz wartość wyrażenia {6} ^ {2} :2∙3+4. I choć na pewno wartością tego wyrażenia jest 58, to wielu utrzymuje, że wartością tego wyrażenia jest 10. Możemy jedynie domyślać się, że ktoś zapamiętał, że najpierw wykonujemy mnożenie, a potem dzielenie. Czy tak jest rzeczywiście?
Jeśli takie sytuacje mają miejsce, to możemy domniemywać, że nie wszystko zostało kiedyś należycie wyjaśnione i utrwalone. A matematyka jest wymagająca! Trzeba umieć o niej mówić. Oto kilka propozycji, które uchylą rąbka tajemnicy i pomogą czerpać satysfakcję zarówno z samej matematyki, jak i naszego jej nauczania.
Propozycja I
Niedawno słuchałem wykładu prof. Jerzego Bralczyka pt. "Jak mówić, żeby nas słuchano?". Otóż musimy mówić komuś, a nie do kogoś, musimy mówić uczniowi, a nie do ucznia! Musimy być kompetentni, uczciwi i wiarygodni. Nasza wiarygodność odgrywa ogromną rolę; by być wiarygodnymi, musimy myśleć o tym, o czym mówimy. Profesor podkreśla, że jeśli naszej wypowiedzi towarzyszy myślenie, to dzieją się czasem rzeczy tajemnicze, tzn. nasze słowa zaczynają być tak artykułowane, że są w pewien sposób podobne do tego, co oznaczają. A w matematyce to rzecz bezcenna!
Propozycja II
Nie ma wątpliwości, że o matematyce rzetelnie i jednocześnie nieszablonowo mówi Profesor Michał Szurek. Jego słowa stanowią potwierdzenie przytoczonej konkluzji językoznawczego autorytetu - mówi nauczycielom i uczniom o potędze matematycznego myślenia za pomocą czytelnych, ale jakże intrygujących zdań. Znamy jego książki: chociażby ośmiotomowy cykl O nauczaniu matematyki, zajmująca Matematyka przy kominku, czy Podróże matematyczne dla miłośników intelektualnych wojaży.
W pierwszym tomie cyklu O nauczaniu matematyki Autor zamieścił rozdział pt. "Uczę świadomie, a więc lepiej i ciekawiej". Wśród tematów tego wykładu znajdujemy temat Kultura. Kultura w matematyce? Na czym miałaby polegać? Kultura, matematyka - niby nieprzystające do siebie elementy, a jednak to tylko pozory. Otóż ważnymi składnikami kultury matematycznej dla nauczycieli (František Kuřina, Kultura matematyczna nauczyciela matematyki, Matematyka, Społeczeństwo, Nauczanie, nr 6/1991) są:
- Zdobycie sprawności matematycznej.
- Zrozumienie przejścia między matematyką – nauką i matematyką – przedmiotem nauczania.
- Opanowanie języka matematyki.
- Umiejętność wybierania odpowiednich metod przy rozwiązywaniu zadań.
- Posiadanie dobrej wyobraźni geometrycznej.
- Opanowanie techniki obliczeń.
- Opanowanie umiejętności przeprowadzania dowodów.
- Opanowanie umiejętności wprowadzania pojęć.
- Możliwości uprawiania w pewnym stopniu twórczości matematycznej.
- Postrzeganie piękna matematyki.
Kulturę matematyczną uczniów poznajemy zaś po odpowiedzi ucznia, po sposobie rozwiązania przez niego zadania. Dowodem zjawiska kultury w matematyce jest następujące zadanie:
Wyznacz pole dwunastokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu r.
Kulturalnym rozwiązaniem powyższego zadania uznać możemy następujące rozwiązanie:
P=12∙ \text{\(\frac 1 2\)} r \text{\(\frac r 2\)} =3 {r} ^ {2}
Wysoką kulturą matematyczną cechować się będzie też osoba, która uzna następujący dowód (B. Nelsen, Proofs Without Words II) na podstawie poniższego rysunku.
\text{\(\frac 1 4\)} + \text{\(\frac 1 {4^2}\)} + \text{\(\frac 1 {4^3}\)} + \text{\(\frac 1 {4^4}\)} + \text{\(\frac 1 {4^5}\)} +⋯= \text{\(\frac 1 3\)}
Propozycja III
Jak pracować, by uczniowie nabyli matematycznej kultury? Muszę tu odwołać się do webinarium Jak się efektywnie uczyć?, które w ramach Poniedziałków na Politechnice prowadziła Pani dr hab. Joanna Mytnik (joanna.mytnik@pg.edu.pl) z Politechniki Gdańskiej. Podczas wykładu poruszono wiele zagadnień, które mają wpływ nie tylko na uczenie się uczniów, ale też na nauczanie nauczycieli - aspekty związane zarówno z efektywnością, jak i z kulturą procesu nauki. Oto one:
- Neurobiologiczne podstawy procesu uczenia się.
- Warunki, w jakich zachodzi tworzenie trwałych śladów pamięciowych.
- Nieskuteczne metody uczenia się.
- Rozłożenie nauki w czasie. Sen, aktywność fizyczna i dobre śniadanie jako kluczowe elementy procesu tworzenia pamięci.
- Dwa tryby uczenia się.
- Proces czy efekt? Mózgowy układ nagrody.
- Techniki wspomagające koncentrację, utrwalanie wiedzy.
- Sposoby przeciwdziałania prokrastynacji.
- Listy zadań.
Na liście tej zwraca uwagę pkt. 8, w którym występuje słowo prokrastynacja. To nic innego, jak odwlekanie w czasie czynności, które uznajemy za nieprzyjemne. Czasem trywialne, jak sprzątanie czy zakupy, a czasem znacząco istotne ,jak unikanie podejmowania decyzji, niechęć do skonfrontowania się z trudną sytuacją czy lęk przed porażką. Te ostatnie często obserwujemy w procesie nauczania.
Priorytetowym czynnikiem mającym wpływ na jakość wykonywanych prac jest koncentracja (Stanislas Dehaene, Jak się uczymy? Dlaczego mózgi uczą się lepiej niż komputery… jak dotąd, Copernicus Center Press, Kraków 2021). Służy temu ograniczanie zakłóceń. To oczywiście trudne w czasach, gdy co chwilę dzwoni telefon, oferta telewizyjna jest coraz szersza, a Internet absorbuje coraz bardziej. W otoczeniu tak wielu możliwości łatwo ulegamy pokusie odwlekania.
Myślę, że opis zawarty w pierwszym rozdziale książki (Italo Calvino, Jeśli zimową nocą podróżny, PIW, Warszawa 1989) Italo Calvina jest pierwszorzędnym przykładem strategii uważnego czytania, uczenia się i nauczania. Przypomina to technikę relaksacyjną:
Zabierasz się do czytania nowej powieści Italo Calvina Jeśli zimową nocą podróżny. Rozluźnij się. Wytęż uwagę. Oddal od siebie każdą inną myśl. Pozwól, aby świat, który cię otacza, rozpłynął się w nieokreślonej mgle. Drzwi lepiej zamknąć: tam zawsze gra telewizor. […] Przybierz najwygodniejszą pozycję: usiądź, wyciągnij nogi, połóż się, zwiń się w kłębek. Połóż się na plecach, na boku, na brzuchu. Usiądź na krześle, na kanapie, w fotelu na biegunach, na leżaku, na pufie. Na hamaku, jeśli masz hamak. Połóż się, oczywiście, na łóżku albo do łóżka. Możesz nawet stanąć na głowie, w pozycji jogi. Z książką do góry nogami, rzecz jasna.
W procesie nauki niezmiernie znaczącą przesłanką jest też motywacja. A tę, jak wiadomo, dzielimy na wewnętrzną i zewnętrzną. O motywacji wewnętrznej mówimy, gdy dla człowieka podejmowana aktywność jest celem samym w sobie, nie wymaga zewnętrznych wzmocnień i nagród. Motywacja zewnętrzna jest natomiast związana z wizją otrzymania nagrody (lub uniknięcia kary) za podjęte działanie. Zobaczmy jak zostało to przedstawione w jednym z opowiadań (Dino Buzzati, Sześćdziesiąt opowiadań, Świat Literacki, Izabelin 2006) Dino Buzzatiego.
Oto Albert Einstein, spacerujący alejami Princeton, doznaje olśnienia:
Ni stąd, ni zowąd, bez jakiejś specjalnej przyczyny, myśl błądząca to tu, to tam, jak pies spuszczony ze smyczy, objawiła mu to, czego na próżno poszukiwał przez całe życie. Nagle Einstein dostrzegł dookoła siebie tak zwaną zakrzywioną przestrzeń i mógł ją wertować w przód i wstecz, jak wy tę książkę.[…] I choć Albert Einstein był mądrym człowiekiem, za nic mającym sławę, w takich momentach czuł się niczym ów najuboższy z ubogich, który nagle zauważa, że ma kieszenie pełne złota. Toteż zawładnęło nim poczucie dumy.
Ale właśnie wtedy, jakby za karę, równie nagle, jak się pojawiła, owa tajemnicza prawda znikła. Jak tę prawdę Einstein odnalazł? Czy tylko uczonemu na tym zależało? Kto i jak go motywował? Odpowiedź znajdziemy, czytając opowiadanie Spotkanie z Einsteinem do końca.
Propozycja IV
Ciągle zadaję sobie pytanie - jak uczyć ciekawiej? Zapewne spełnię ten wymóg poprzez proponowanie atrakcyjnych zadań. To chyba jedyna poprawna odpowiedź. Więc ciągle szukam inspiracji. W tym najbardziej niezawodna okazuje się oczywiście literatura. I tak, przeczytane przez mnie jedno z opowiadań wspomnianego Buzzatiego Siedmiu posłańców, stało się odpowiedzialne za sformułowanie następującego zadania (Janusz Karkut, Siedmiu posłańców, Matematyka w Szkole, nr 6(78)/2015):
Wyruszyłem w podróż po królestwie ojca, pokonując każdego dnia 40 mil. Już na początku drugiego dnia podróży zadbałem o to, by móc porozumiewać się z moimi bliskimi. Spośród mej świty wybrałem siedmiu najlepszych rycerzy, żeby służyli mi jako posłańcy i wysłałem pierwszego, Aleksandra, który każdego dnia pokonywał 80 mil. Dziś, po kolejnym powrocie, znów wyruszy do zamku; pomyślałem, że zobaczę go ponownie po przeszło 30 latach. Ile dni upłynęło od początku wyprawy do chwili, gdy książę wypowiada to zdanie?
Zadanie to pozwala stworzyć model przedstawionej sytuacji i zrealizować przy tym następujące cele: określanie funkcji przy pomocy tabeli, wykresu, zastosowanie wzoru; wykorzystanie proporcjonalności prostej; dowodzenie hipotezy poprzez rozwiązanie równania. Polecam!
Rozpocząłem swoją wypowiedź od banalnego przykładu arytmetycznego. Liczę na kolejne spotkanie z matematyką przy porannej kawie. Tylko ile ta kawa kosztuje…
W pewnej kawiarni ceny popołudniowe są o 10 procent wyższe niż poranne, a o 10 procent niższe niż wieczorne. Ile kosztuje rano kawa, za którą wieczorem zapłacimy 8 zł?
Mimo wszystko już rezerwuję dla Państwa i czas, i stolik przy oknie. Katalog pomysłów może się wydłużyć…
Janusz Karkut, doradca metodyczny w zakresie matematyki